Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60^0.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh \(a \) và có góc nhọn bằng \({60^0} \). Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
+ Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = {60^0};\,\,AB = BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) đều.
\( \Rightarrow AC = AB = BC = a\). Mà \(O\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow OA = \dfrac{a}{2}\).
+ \(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(O\).
\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} + O{B^2} = {a^2} \Rightarrow OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow BD = 2OB = 2\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
+ Vì đường chéo của đáy lớn bằng đường chéo của lăng trụ \( \Rightarrow A'B = BD = a\sqrt 3 \).
+ Xét tam giác \(A'AB\) có \(A'A \bot AB\) (vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là lăng trụ đứng).
\( \Rightarrow A'{A^2} + A{B^2} = A'{B^2} \Leftrightarrow A'{A^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow A'A = \sqrt 2 a\).
+ \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = AA'.\dfrac{{AC.BD}}{{22}} = \sqrt 2 a\dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).
Chọn A
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
