Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng d2a căn 5 5 kh
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD'\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(AA' = x;\,\,AB = y;\,\,AD = z\)
Qua \(B\), kẻ \(BH \bot B'C\left( {H \in B'C} \right),\,\,BK \bot AB'\left( {K \in AB'} \right)\)
Ta thấy \(BH\) là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) nên \(BH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
\(BK\) là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng \(BC\) và \(AB'\) nên \(BK = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{C^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}}\\\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{BB{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\end{array} \right.\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(DD'\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) hay \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD\).
Ta có: \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(BD'D\) nên \(OM//BD'\)
Do đó, \(d\left( {AC;BD'} \right) = d\left( {BD';\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {MAC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tứ diện \(D.AMC\) có 3 cạnh \(DA,DC,DM\) đôi một vuông góc nên
\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {D;\left( {AMC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{D{A^2}}} + \dfrac{1}{{D{C^2}}} + \dfrac{1}{{D{M^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}} \right)}^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\)
Do đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2a\\y = a\\z = a\end{array} \right.\)
Vậy thể tích của hình hộp đã cho là: \(V = xyz = 2{a^3}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
