Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có mặt ABCD là hình vuông AA' = AB căn 6 2. Xác định góc giữa h
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có mặt \(ABCD\) là hình vuông, \(AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2}.\) Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(I\) là giao điểm hai đường chéo của hình vuông \(ABCD\). Khi đó \(I\) là trung điểm của \(BD.\)
Xét tam giác \(A'BD\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BD\) và tam giác \(C'BD\) cân tại \(C' \Rightarrow C'I \bot BD\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BD} \right) \cap \left( {C'BD} \right) = BD\\A'I \bot BD\\C'I \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \) góc tạo bởi \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\) là góc \(A'IC'.\)
Gọi \(AB = x \Rightarrow AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2} = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}\)
Xét hình vuông \(ABCD\) có \(AC = BD = x\sqrt 2 \Rightarrow A'C' = x\sqrt 2 ;DI = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(AA'D\) vuông tại \(A\) có \(A'D = \sqrt {A{{A'}^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {x^2}} = \frac{{x\sqrt {10} }}{2}\)
Xét tam giác \(A'DI\) vuông tại \(I\) có \(A'I = \sqrt {A'{D^2} - D{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt {10} }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = x\sqrt 2 \)
Vì \(\Delta A'DB = \Delta C'DB\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow C'I = A'I = x\sqrt 2 \)
Xét tam giác \(A'IC'\) có \(A'I = C'I = A'C' = x\sqrt 2 \) nên \(\Delta A'IC'\) là tam giác đều. Suy ra \(\angle A'IC' = {60^0}.\)
Vậy góc tạo bởi \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\) là góc \(A'IC'\) bằng \({60^0}.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.