Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a căn 2 AA’ = 2a. Tính khoảng cá
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt{2}\), AA’ = 2a. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD’.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm đối xứng của A qua D, suy ra BCID là hình bình hành nên BD // CI
Do đó \(d\left( BD;CD' \right)=d\left( BD;\left( CD'I \right) \right)=d\left( D;\left( CD'I \right) \right).\)
Kẻ \(DE\bot CI\) tại E, kẻ \(DK\bot D'E\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DD'E} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow DK\bot \left( CD'I \right)\Rightarrow d\left( D;\left( CD'I \right) \right)=DK.\)
Xét tam giác IAC, ta có DE // AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác ACI. Suy ra \(DE=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.\)
Tam giác vuông \(D'DE\), có \(DK=\frac{D'D.DE}{\sqrt{D'{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}}}=\frac{2a.a}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
