Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45^circ M N P lần lượt
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \(45^\circ \), M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, AB, thể tích V của khối tứ diện DMNP là \(V = \dfrac{{{a^3}}}{6}\). Độ dài cạnh đáy là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hình chóp S.ABCD đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\AB \bot \left( {SPO} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SP;OP}} \right) = \widehat {SPO} = 45^\circ \end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta SOP\) vuông cân tại O
Gọi độ dài cạnh đáy là x \( \Rightarrow OP = \dfrac{x}{2} \Rightarrow SO = OP = \dfrac{x}{2}\)
Khi đó, \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{x}{2}.{x^2} = \dfrac{{{x^3}}}{6}\)
Ta có: \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{SAB}}\) (do M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, AB) \( \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABD}}\)
Mà \({V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{{x^3}}}{6} = \dfrac{{{x^3}}}{{48}} \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{48}} = \dfrac{{{a^3}}}{6} \Rightarrow x = 2a\).
Chọn: C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
