Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a căn 216. Tính khoảng cách Dtừ
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{21}}{6}\). Tính khoảng cách Dtừ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) .
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là tâm của tam giác đều \(ABC\)
Do hình chóp \(S.ABC\) đều nên suy ra \(SO\bot \left( ABC \right)\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}AO \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)}\right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{AE}}{{OE}} = 3\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right).\end{array}\)
Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\); trong (SAE) kẻ \(OK\bot SE\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK\)
Tính được \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}AE \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{21{{a}^{2}}}{36}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a}{2}\) và \(OE=\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)
Tam giác vuông \(SOE\), có \(OK=\frac{SO.OE}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\frac{a}{4}\).
Vậy \(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=3OK=\frac{3a}{4}\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
