Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi cạnh a SA = SB = SD = a góc BAD = 60^0. Góc giữa đường thẳn
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thoi cạnh a, \(SA = SB = SD = a\), \(\widehat {BAD} = {60^0}\). Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi O là tâm hình thoi ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD.
Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), \(\widehat {BAD} = {60^0}\)
\( \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Hình chóp S.ABD có : \(SA = SB = SD = a \Rightarrow SH \bot (ABD)\).
Dựng HK // SA \(\left( {K \in SC} \right)\), \(HI \bot SD\,\,(I \in SD)\).
Mà \(HD \bot CD\) ( do \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\))
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow CD \bot HI\).
\( \Rightarrow HI \bot (SCD)\)
\(\left( {\widehat {SA;(SCD)}} \right) = \left( {\widehat {HK;(SCD)}} \right) = \widehat {\left( {HK;KI} \right)} = \widehat {HKI}\)
+) HK // SA \( \Rightarrow \frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HK = \frac{2}{3}a\)
+) Tứ diện S.ABD đều, có cạnh bằng a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\\AH = \frac{2}{3}.OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\)
+) Tam giác SHD vuông tại H , \(HI \bot SD \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{\frac{{2{a^2}}}{3}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{3}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
+) Tam giác HIK vuông tại I \( \Rightarrow \sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {HKI} = {45^0} \Rightarrow \left( {\widehat {SA;\left( {SCD} \right)}} \right) = {45^0}\)
Chọn: D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
