Cho hình chóp S.ABCD đều có AB = 2 và SA = 3 căn 2 . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã c
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(E\) là trung điểm \(SB.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Trong \(\left( {SBO} \right)\) kẻ đường trung trực của \(SB\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(R = IS.\)
Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2\)
\( \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow BO = \dfrac{{BD}}{2} = \sqrt 2 .\)
Ta có \(SA = SB = SC = SD = 3\sqrt 2 \) (vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {18 - 2} = 4.\)
Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SB}} = \dfrac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \dfrac{{SB.SE}}{{SO}} = \dfrac{{3\sqrt 2 .\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{4} = \dfrac{9}{4}\)
Vậy bán kính \(R = \dfrac{9}{4}.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
