Cho hình chóp S.ABCD có SC bot ( ABCD ), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a căn 3 và widehat ABC
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp (S.ABCD) có (SC bot left( {ABCD} right)), đáy (ABCD) là hình thoi có cạnh bằng (asqrt 3 ) và (widehat {ABC} = 120^circ ). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (left( {SAB} right)) và (left( {ABCD} right)) bằng (45^circ ). Tính thể tích (V) của khối chóp (S.ABCD) (tham khảo hình vẽ bên dưới)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Qua \(C\) kẻ \(CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right)\) (1)
Theo giả thiết \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\)
Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(AB\) nên góc tạo bởi hai mp\(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SH\) và \(CH\)
Suy ra \(\angle SHC = {45^0}\)
Ta có: \(\angle ABC = {120^0} \Rightarrow \angle CBH = {60^0}\).
\(\sin CBH = \dfrac{{CH}}{{CB}} \Leftrightarrow \sin 60^\circ = \dfrac{{CH}}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow CH = \dfrac{{3a}}{2}\)
Tam giác \(SCH\) vuông tại \(C\) có \(\widehat {SHC} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow SC = CH = \dfrac{{3a}}{2}\)
Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều
Suy ra \({S_{ABD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.A{B^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.3{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^2} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)
Do đó thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là : \(V = \dfrac{1}{3}.SC.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^3}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.