Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình vuông
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA=2a \sqrt{2} \). Gọi M là trung điểm của cạnh SC, \( \left( \alpha \right) \) là mặt phẳng đi qua A, M và song song với đường thẳng BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O=AC\cap BD\) , trong (SAC) gọi \(E=SO\cap AM\). Qua A kẻ GH // BD \(\left( G\in SB;H\in SD \right)\) , khi đó \(\left( \alpha \right)\equiv \left( AGMH \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right),\,\,\\
GH//BD \Rightarrow GH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow GH \bot AM
\end{array}\)
Xét tam giác SAC có E là trọng tâm \(\Rightarrow \frac{SE}{SO}=\frac{2}{3}=\frac{SG}{SB}=\frac{GH}{BD}\Rightarrow GH=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.2a\sqrt{2}=\frac{4a\sqrt{2}}{3}\)
Xét tam giác SAC có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=4a\)
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}SC=2a\)
Vậy \({{S}_{AGMH}}=\frac{1}{2}AM.GH=\frac{1}{2}.2a.\frac{4a\sqrt{2}}{3}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.