Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc v
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Khoảng cách giữa \(AM\) và \(SC\) là
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều nên \(SI \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\), khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) \( \Rightarrow MN\parallel SC \Rightarrow SC\parallel \left( {AMN} \right).\)
\( \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right)\).
(do \(IC\parallel AN \Rightarrow IC\parallel \left( {AMN} \right)\)).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(IK \bot AN\,\,\left( {K \in AN} \right).\)
Gọi \(AN \cap ID = H \Rightarrow H\) là trung điểm của \(ID\) (do \(ADNI\) là hình bình hành).
\( \Rightarrow MH\) là đường trung bình của tam giác \(SID\) nên \(MH\parallel SI \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow MH \bot IK.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AN\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AMN} \right)\). Do đó \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = IK.\)
Tam giác \(AIN\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IK\) nên
\(\dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{N^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow IK = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)
Vậy \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\) hay \(d\left( {AM;SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
