Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Vậy \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\)
Kẻ \(HM \bot BD\) \(\left( {M \in BD} \right)\), kẻ \(HK \bot SM\) tại \(K\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\left( {do\,SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\)
Lại có \(HK \bot SM \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(K\) \( \Rightarrow HK = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AO \bot BD\) mà \(HM \bot BD \Rightarrow HM//AO\)
Lại có \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(M\) là trung điểm \(BO \Rightarrow HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABO \Rightarrow HM = \dfrac{{AO}}{2}\) \( = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Xét tam giác \(SMH\) vuông tại \(H\) , ta có
\(HM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\), \(SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{{28}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow \)\(d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.