Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a tam giác SAB đều góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(S{{M}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\)
\(S{{M}^{2}}=M{{N}^{2}}+S{{N}^{2}}-2MN.SN\cos {{60}^{0}}\)
\(\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}+S{{N}^{2}}-2.2a.SN.\frac{1}{2}\Leftrightarrow S{{N}^{2}}-2aSN+{{a}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( SN-a \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow SN=a\)
\(SH=SN\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2};MP=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
\(HN=SN\cos {{60}^{0}}=\frac{a}{2}\Rightarrow HO=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\)
Ta có: \(\frac{OM}{HM}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\) nên \(d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)\)
\(PN=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.\) Mà \(\frac{KH}{PN}=\frac{MH}{MN}\)
\(\Rightarrow KH=\frac{MH}{MN}.PN=\frac{\frac{3a}{2}}{2a}a\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
\(\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{10}\)
\(\Rightarrow d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}IH=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{5}}{10}=\frac{a\sqrt{5}}{5}.\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.