Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc vớ
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính độ dài của SA để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 600.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{align} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC\)
Trong (SBC) kẻ \(BH\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BDH \right)\Rightarrow DH\bot SC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset BH \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset DH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BH;DH} \right)} = {60^0}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0}\\\widehat {BHD} = {120^0}\end{array} \right.\end{array}\)
Có: \(\left\{ \begin{align} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, tương tự ta chứng minh được tam giác SCD vuông tại D.
Dễ thấy \(\Delta SAB=\Delta SAD\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBC=\Delta SDC\left( c.c.c \right)\)
\(\Rightarrow BH=DH\Rightarrow \Delta BDH\) cân tại H.
Đặt SA = x ta có: \(SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow B{{H}^{2}}=\frac{S{{B}^{2}}.B{{C}^{2}}}{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=D{{H}^{2}}\), ABCD là hình vuông cạnh a \(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
TH1 : \(\widehat{BHD}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{30}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có
\(\begin{align} \frac{BO}{BH}=\sin {{30}^{0}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-3{{a}^{2}}\,\,\left( vo\,ly \right) \\ \end{align}\)
TH2 : \(\widehat{BHD}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{60}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có
\(\begin{align} \frac{BO}{BH}=\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a \\ \end{align}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
