Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh agóc ABC = 120^0SA bot ( ABCD ). Biết góc giữa hai mặ
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,\(\widehat {ABC} = {120^0},\)\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính SA
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\widehat {ABC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABD\) đều
\( \Rightarrow BD = a;\,\,AC = 2AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Nhận xét \(BD \bot SC \Rightarrow \) kẻ \(OM \bot SC \Rightarrow \left( {BDM} \right) \bot SC\) do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là \(\widehat {BMD} = {120^0}\) hoặc \(\widehat {BMD} = {60^0}\).
Dễ nhận thấy \(\Delta SBC = \Delta SDC \Rightarrow BM = DM \Rightarrow \Delta MBD\) cân tại M.
TH1: Nếu\(\widehat {BMD} = {120^0}\) mà tam giác BMD cân tại M nên \(\widehat {BMO} = {60^0} \Rightarrow MO = BO.cot{60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta COM \sim \Delta CSA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{OM}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{{6SA}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} }}\\ \Rightarrow 3SA = \sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} \Rightarrow 8S{A^2} = 3{a^2} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\end{array}\).
TH2: Nếu \(\widehat {BMD} = {60^0} \Rightarrow \Delta MBD\) đều cạnh a \( \Rightarrow MO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta COM \sim \Delta CSA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{OM}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{{2SA}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} }}\\ \Rightarrow SA = \sqrt {S{A^2} + 3{a^2}} \,\,\left( {Vo\,\,ly} \right).\end{array}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.