Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 3a,,,AD = 4a, SA vu
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 3a, \, \,AD = 4a \), \(SA \) vuông góc với mặt đáy, \(SC \) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0} \). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD \) theo \(a \).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là trung điểm cạnh \(SC\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(O\) là giao điểm 2 đường chéo cũng chình là tâm đường tròn ngoại tiếp hcn \(ABCD\) (do \(OA = OB = OC = OD\)).
\(OI\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(OI//SA\) mà \(SA\) vuông góc với mp \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(OI\) cũng vuông góc với mp \(\left( {ABCD} \right)\)
Do đó \(IA = IB = IC = ID\) (do \(I\) nằm trên đường thẳng đi qua tâm \(O\) và vuông góc với đáy).
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \) Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có trung tuyến \(AI\) nên \(IA = IS = IC\).
\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
\(SA\) vuông góc với đáy nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng đáy chính là góc \(\angle SCA \Rightarrow \angle SCA = {60^0}\).
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a;\,\,\,SC = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \dfrac{{5a}}{{\cos 60^\circ }} = 10a\).
Do đó \(R = IS = \dfrac{1}{2}SC = 5a\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng \(5a\).
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.