Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a. SA bot
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(AB = 2a\). \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\end{array} \right. \Rightarrow \) Gọi H là hình chiếu của A trên DC thì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) và H là trung điểm của SC.
Gọi M là hình chiếu của A trên DC ta cũng có \(\left( {SAM} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).
Tương tự, gọi K là hình chiếu của A trên SM thì \(AK \bot \left( {SCD} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( {SBC} \right)\AK \bot \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH;AK} \right)} = \widehat {HAK}\).
Ta có \(AH = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2};\,\,AK.SM = AM.AS \Rightarrow AK = \frac{{AM.AS}}{{SM}} = \frac{{3a}}{{\sqrt {15} }}\).
\( \Rightarrow \cos \widehat {HAK} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{{\sqrt {15} }}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\)
Vậy \(\cos \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
