Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là nửa lục giác đều nội
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy \(ABCD\) là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(AB = 2a,SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Gọi \(E = AD \cap BC\)
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB
nên \(\widehat {ADB} = {90^0} \Rightarrow AD \bot DB\)
Mà \(SA \bot DB\)
\( \Rightarrow DB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow DB \bot SE\)
Trong \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(DF \bot SE\)
\( \Rightarrow SE \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SE \bot BF\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE\\DF \bot SE\\BF \bot SE\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {DF;BF} \right)} = \widehat {BFD}\)
(vì \(\widehat {BFD} < {90^0}\))
Vì \(DB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow DB \bot DF \Rightarrow \Delta BDF\)vuông tại D
Xét tam giác vuông ABD có: \(BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
\(\Delta EAB\) đều nên \(AE = BE = AB = 2a \Rightarrow SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 7 \)
D là trung điểm của AE nên \(AD = \frac{1}{2}AE = a\)
Ta có: \(\Delta EDF \sim \Delta ESA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{DF}}{{SA}} = \dfrac{{DE}}{{SE}} \Rightarrow DF = \dfrac{{SA.DE}}{{SE}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a}}{{a\sqrt 7 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)
\( \Rightarrow BF = \sqrt {D{F^2} + B{D^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{7}{a^2} + 3{a^2} = } \dfrac{{2\sqrt 6 a}}{{\sqrt 7 }}\)
Vậy \(cos\widehat {BFD} = \dfrac{{DF}}{{BF}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}}}{{\dfrac{{2\sqrt 6 a}}{{\sqrt 7 }}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.