Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\), biết \(SD = 2a\sqrt 5 ,\,\,SC\) tạo với đáy \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SM \bot AB \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow MC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}\).
Trong tam giác vuông \(SMC\) và \(SMD\) ta có: \(SM = \sqrt {S{D^2} - M{D^2}} = MC.\tan {60^0}\).
Mà \(MC = MD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {S{D^2} - M{D^2}} = MD.\tan {60^0} \Leftrightarrow S{D^2} - M{D^2} = 3M{D^2}\\ \Leftrightarrow M{D^2} = \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 5{a^2} \Leftrightarrow MD = a\sqrt 5 \end{array}\).
\( \Rightarrow SM = \sqrt {20{a^2} - 5{a^2}} = \sqrt {15{a^2}} = a\sqrt {15} \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMD\) có :
\(M{D^2} = A{D^2} + A{M^2} \Leftrightarrow 5{a^2} = A{D^2} + \dfrac{1}{4}A{D^2} = \dfrac{5}{4}A{D^2} \Leftrightarrow A{D^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow AD = 2a\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt {15} .{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
