Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy là SA = y. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x. Biết rằng \({x^2} + {y^2} = {a^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
\(\eqalign{ & {S_{ABCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{MCD}} = {a^2} - {1 \over 2}a(a - x) = {{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2} \cr & \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right). \cr} \)
Ta có: \({x^2} + {y^2} = {a^2} \Rightarrow y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over 3}y\left( {{{{a^2}} \over 2} + {{ax} \over 2}} \right) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right) \cr & f(x) = {1 \over 6}a\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {a + x} \right);\,\,x \in \left( {0;a} \right) \cr & f'(x) = {1 \over 6}.a.\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right] = {1 \over 6}.a\left[ {{{ - x\left( {a + x} \right) + {a^2} - {x^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right] = {1 \over 6}a{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}} \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \cr & f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{ x = - a\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr x = {a \over 2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Lập bảng biến thiên ta được:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {{a \over 2}} \right) = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}.\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.