Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC ?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
\(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi N là trung điểm của CD
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN//SC \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right)\\ = d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right)\end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SH\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tương tự ta chứng minh được tam giác SBC vuông cân tại B.
Có \(MN = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {p_{AMN}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} + \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 + a\sqrt 5 }}{4}\\ \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {{p_{AMN}}\left( {{p_{AMN}} - AM} \right)\left( {{p_{AMN}} - MN} \right)\left( {{p_{AMN}} - NP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\end{array}\)
Ta có \(\frac{{{V_{M.AND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{8}\)
Có \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow {V_{M.AND}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\)
Lại có \({V_{M.AND}} = \frac{1}{3}{S_{AMN}}.d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{M.AND}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.