Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(2a\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O\) là tâm của đáy, suy ra \(SO\bot \left( ABCD \right)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).\end{array}\)
Gọi \(J\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(OJ\bot CD\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SJ\), suy ra \(OK\bot SJ\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OJ\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOJ} \right) \Rightarrow CD \bot OK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OK\frac{SO.OJ}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{J}^{2}}}}\)
Ta có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow OK=\frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}\)
Vậy \(d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2.OK=\frac{2a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.