Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O=AC\cap BD,\) H là tâm của tam giác đều ABD, SABD là tứ diện đều
\(\Rightarrow SH\bot \left( ABD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & BD\bot SH\,\,\left( SH\bot \left( ABCD \right) \right) \\ & DB\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\)
Trong (SAC) kẻ \(OK\bot SC\,\,\left( K\in SC \right)\Rightarrow OK\bot BD\)
Do đó OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC \(\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=OK\)
Tam giác ABD đều cạnh a
\(\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(AH=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC=\frac{1}{3}AC\Rightarrow HC=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}.2AO=\frac{4}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông SHC kẻ \(HM\bot SC\,\,\left( M\in SC \right)\) ta có:
\(HM=\sqrt{\frac{S{{H}^{2}}.H{{C}^{2}}}{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{2a}{3}\)
Ta có \(OH=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}OC\Rightarrow \frac{CO}{CH}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{OK}{HM}=\frac{CO}{CH}=\frac{3}{4}\left( Ta-let \right)\Rightarrow OK=\frac{3}{4}HM=\frac{a}{2}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.