Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = aAD = 2a SA vuông góc
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với \(AB = BC = a,\,AD = 2a,\,\) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(SA = a.\) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SD\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Dễ dàng nhận thấy \(ABCE\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow CE = a\).
\( \Rightarrow CE = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACE\) vuông tại \(C \Rightarrow AC \bot CD\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng hình bình hành \(ACDF \Rightarrow AC//FD\).
\( \Rightarrow d\left( {AC;SD} \right) = d\left( {AC;\left( {SFD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SFD} \right)} \right)\).
Ta có \(AF//CD \Rightarrow AF \bot AC\).
Lại có \(AC \bot SA \Rightarrow AC \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow FD \bot \left( {SAF} \right)\).
Trong \(\left( {SAF} \right)\) kẻ \(AH \bot SF\,\,\left( {H \in SF} \right) \Rightarrow FD \bot AH\).
\( \Rightarrow AH \bot \left( {SFD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SFD} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(CD = \sqrt {C{E^2} + E{D^2}} = a\sqrt 2 = AF\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAF:\,\,AH = \dfrac{{SA.AF}}{{\sqrt {S{A^2} + A{F^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.