Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a,,,AD = a
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy \(ABCD \) là hình chữ nhật với \(AB = 2a, \, \,AD = a \). Hình chiếu của \(S \) lên mặt phẳng đáy là trung điểm \(H \) của cạnh \(AB \), góc tạo bởi cạnh \(SC \) với mặt phẳng đáy là \(45^ \circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABCD \) là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(AH = BH = \dfrac{{2a}}{2} = a\) và \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt 2 a\)
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\)\( \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại \(H\).
Do đó, \(SH = CH.\tan \angle SCH = a\sqrt 2 \).
Lại có \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2a.a = 2{a^2}\).
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .2{a^2} = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.