Cho hình chóp S.ABCcó SA = x, các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC \)có \(SA = x \), các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng \(a \). Để thể tích khối chóp lớn nhất thì giá trị của \(x \) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Do tam giác \(SBC\) và \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SK \bot BC\\AK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAK} \right)\) và \(SK = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow \Delta SAK\) cân tại \(K\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow KH \bot SA\).
\( \Rightarrow KH\) là đoạn vuông góc chung của \(SA;\,\,BC\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) ta có:
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.BC.d\left( {SA;BC} \right).\sin \alpha = \dfrac{1}{6}SA.BC.HK.\sin \alpha \).
Ta có \(HK = \sqrt {S{K^2} - S{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}x.a.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\sin \alpha \le \dfrac{{x.a\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{{12}}\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} + x\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = \dfrac{{3{a^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC\,\,\max }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.