Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a = 3cm SA bot ( ABC ) và SA = 2a. Tính thể tích khối c
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 3cm\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA; G là trọng tâm tâm giác ABC
Mà tam giác ABC đều \( \Rightarrow \) G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong (SAN), dựng đường thẳng qua G song song SA, đường thẳng qua I song song AN, chúng cắt nhau tại O
Khi đó, \(OA = OB = OC = \,OS\) hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)
I là trung điểm của SA \( \Rightarrow IA = \frac{{SA}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a = 3\,(cm)\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 3cm \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{3.\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Tứ giác \(AGOI\)có: \(OG//AI,\,\,OI//AG \Rightarrow AGOI\) là hình bình hành
Mà \(\widehat A = {90^0} \Rightarrow AGOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OA = \sqrt {A{I^2} + A{G^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
\( \Rightarrow \)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: \(R = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
\( \Rightarrow \)Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\sqrt 3 \pi \left( {c{m^3}} \right)\).
Chọn: C
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.