Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi I, J, O lần lượt là trung điểm của AC, SA, SC.
+) Ta sẽ chứng minh: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC:
Ta có: \(\Delta \)ABC vuông tại B, I là trung điểm AC \(\Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (1)
OI // SA ( Vì IO là đường trung bình của tam giác SAC)
Mà \(SA\bot (ABC)\Rightarrow IO\bot (ABC)\) (2)
Từ (1), (2) suy ra : \(OA=OB=OC\) (*)
Ta có: \(OJ//AC\) ( Vì OJ là đường trung bình của tam giác SAC)
Mà \(AC\bot SA\,\,(do\,\,SA\bot (ABC))\Rightarrow OJ\bot SA\Rightarrow \) OJ là đường trung trực của SA \(\Rightarrow OS=OA\) (2*)
Từ (*) và (2*) suy ra \(OS=OA=OB=OC\Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
+) Tính bán kính R:
\(\Delta \)ABC vuông tại B\(\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\).
\(\Delta \)SAC vuông tại S \(\Rightarrow S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow SC=a\sqrt{6}\Rightarrow R=\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).
Chọn: B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
