Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB = 3BC = 4 đường thẳng SA vuông góc với mặt
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 3,\,\,BC = 4\), đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = 4\). Gọi \(AM,AN\) lần lượt là chiều cao của các tam giác SAB và SAC. Tính thể tích khối tứ diện AMNC ?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\\\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow {V_{AMNC}} = \frac{1}{3}AM.{S_{MNC}}\end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SC\\AN \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow SC \bot MN \Rightarrow \Delta MNC\) vuông tại N.
Ta có \(AM = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{12}}{5};\,\,AN = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {41} }}\)
\( \Rightarrow MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {\frac{{4096}}{{205}}} = \frac{{64}}{{5\sqrt {41} }}\)
Ta có \(NC = \frac{{A{C^2}}}{{SC}} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\).
\( \Rightarrow {V_{AMNC}} = \frac{1}{3}AM.\frac{1}{2}MN.MC = \frac{1}{6}.\frac{{12}}{5}.\frac{{64}}{{5\sqrt {41} }}.\frac{{25}}{{\sqrt {41} }} = \frac{{128}}{{41}}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
