Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A góc ABC = 30^0 tam giác SBC là tam giác đều
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {30^0}\), tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(I\), K lần lượt là trung điểm của BC. Kẻ \(IH \bot SK\) tại H.
Do \(\Delta SBC\) đều \( \Rightarrow SI \bot BC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \subset \left( {SBC} \right)\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)
\(IK//AC\) (IK là đường trung bình của tam giác ABC, mà \(AC \bot AB \Rightarrow IK \bot AB\)
\(SI \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SIK} \right) \Rightarrow AB \bot IH\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IH\\SK \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = IH\)
Mà \(CI \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{IB}} = 2 \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = 2IH = h\)
Ta có: \(IK = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{BC\sin B}}{2} = \dfrac{{a.\dfrac{1}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\)
Tam giác SBC đều, cạnh a \( \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét trong \(\Delta SIK\) vuông tại I, \(IH \bot SK\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{{52}}{{3{a^2}}} \Rightarrow IH = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{26}} \Rightarrow h\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)
Chọn: B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
