Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C,
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và \(SB = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\). Tính khoảng cách từ điểm G đến (SAC)?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Trong (ABC) kẻ \(GE \bot AC\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot GE\\AC \bot SG\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SGE} \right)\)
Trong (SGE) kẻ \(GH \bot SE\)
Có: \(\left. \begin{array}{l}GH \bot SE\\GH \bot AC\left( {AC \bot \left( {SGE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow GH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right) = GH\)
Tam giác ABC vuông cận tại C nên \(CA = CB = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}GE \bot AC\\BC \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow GE//BC \Rightarrow \frac{{GE}}{{BC}} = \dfrac{{NG}}{{NB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GE = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{{3a}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Xét tam giác vuông BCN có: \(BN = \sqrt {B{C^2} + C{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{2} + \dfrac{{9{a^2}}}{8}} = \dfrac{{3\sqrt 5 a}}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{\sqrt 5 a}}{{\sqrt 2 }}\)
Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BG \Rightarrow \Delta SBG\) vuông tại G \( \Rightarrow SG = \sqrt {S{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {\dfrac{{14{a^2}}}{4} - \dfrac{{5{a^2}}}{2}} = a\)
Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot GE \Rightarrow \Delta SGE\)vuông tại G \( \Rightarrow \dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{G^2}}} + \dfrac{1}{{G{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow GH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
