Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằ
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp đều \(S.ABC \) có cạnh đáy bằng \(a, \) góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^ \circ . \) Tính theo \(a \) thể tích khối chóp \(S.ABC. \)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC,\,O\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) (do \(S.ABC\) là hình chóp đều)
Suy ra \(AE \bot BC\,\)(do \(\Delta ABC\) đều) và \(SE \bot BC\) (do \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) )
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AE \bot BC;AE \subset \left( {ABC} \right)\,\\SE \bot BC\,;SE \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {SEA}\) .
Từ giả thiết suy ra \(\widehat {SEA} = 60^\circ .\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) (do \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AE\) ) , ta có: \(SO = OE.\tan \widehat {SEO} = \dfrac{{AE}}{3}.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}.\)
Diện tích tam giác đều \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)
Chọn: A
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
