Cho hàm số y=x+2x-2 có đồ thị ( C ). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của ( C ). Tiếp tuyến của
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\). Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tập xác định: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\); \({y}'=\frac{-4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\). Ta có \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \)\(\Rightarrow \) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\);
Và \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=1\)\(\Rightarrow \) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\), suy ra \(I\left( 2;\,1 \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) có dạng: \(d:\,y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}\)
Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) nên \(A\left( 2;\,\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} \right)\), \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;\,1 \right)\).
Do tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R=\frac{AB}{2}\).
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) là: \(P=AB.\pi \). Chu vi bé nhất khi \(AB\) nhỏ nhất
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 4-2{{x}_{0}};\,\frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)\)\(\Rightarrow \)\(AB=\sqrt{4{{\left( 2-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}}\)\(\ge \sqrt{2\sqrt{4.64}}=4\sqrt{2}\)
Vậy \({{P}_{\min }}=4\sqrt{2}.\pi \).
Chọn A
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.