Cho hàm số y=x+1-1+xcó đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y= \frac{x+1}{-1+x} \)có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y=1\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\)và tiệm cận đứng \(x=1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).
Gọi \(A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( 1;1 \right)\)
\(y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.1}{{{\left( -1+x \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)\)ta có tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)
Cho x = 1 \(\Rightarrow y=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( 1-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}=\frac{2}{{{x}_{0}}-1}+\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}=\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}\)
Gọi \(B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 1;\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1} \right)\)
\(\begin{array}{l}Cho\,y = 1 \Rightarrow 1 = - \frac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 1 = - \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x_0} + x_0^2 - 1 - x_0^2 + 2{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x_0} - 2}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\end{array}\)
Gọi \(C=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow C\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right)\)
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A có
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right)}^2}} = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}},\,\,AC = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 1 - 1} \right)}^2}} = \left| {2{x_0} - 2} \right| = 2\left| {{x_0} - 1} \right|\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\frac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\left| {{x_0} - 1} \right| = 4\end{array}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
