Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=(x-1)^2(x^2-2x) với mọi xin R. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)={{(x-1)}^{2}}({{x}^{2}}-2x),\,\) với mọi \(x\in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y=f({{x}^{2}}-8x+m)\) có \(5\) điểm cực trị?
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \({g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\,\,\left( I \right)\)
Mà \({f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}.x\left( x-2 \right);\,\,\forall x\in R.\)
Suy ra \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-8x+m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}-8x+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & {{x}^{2}}-8x+m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\)
Qua các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) (nếu có) thì \(g'\left( x \right)\) đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương trình \(\left( 1 \right)\)
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 16-m>0 \\ & 16-m+2>0 \\ & -16+m\ne 0 \\ & -18+m\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<16\)
Kết hợp \(m\in {{Z}^{+}}\)\(\Rightarrow \)có 15 giá trị \(m\) cần tìm.
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.