Cho hàm số y=2x-3x-2 có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C)tại hai điểm A B
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-2}\) có đồ thị \((C)\). Một tiếp tuyến của \((C)\) cắt hai tiệm cận của \((C)\)tại hai điểm A, B và \(AB=2\sqrt{2}\). Hệ số góc tiếp tuyến đó bằng
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
\(y=\frac{2x-3}{x-2}\) (C) có 2 đường tiệm cận: \(x=2,\,\,y=2\)
Ta có \(y'=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)
Gọi \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}}),\,\,({{x}_{0}}\ne 0)\) là tiếp điểm. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :
\(y=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\,\,\,(d)\)
Cho \(x=2\Rightarrow y=\frac{1}{{{x}_{0}}-2}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}=\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}\Rightarrow (d)\) cắt TCĐ của (C) tại điểm \(A\left( 2;\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2} \right)\).
Cho \(y=2\Rightarrow 2=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\Leftrightarrow 2{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=-x+{{x}_{0}}+(2{{x}_{0}}-3)({{x}_{0}}-2)\)
\(\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}^{2}-8{{x}_{0}}+8=-x+{{x}_{0}}+2{{x}_{0}}^{2}-7{{x}_{0}}+6\Leftrightarrow x=2{{x}_{0}}-2\Rightarrow (d)\)cắt TCN của (C) tại điểm \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;2 \right)\)
Độ dài đoạn AB: \(\begin{align} \sqrt{{{\left( 2-(2{{x}_{0}}-2) \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow 4{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{4}}-2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+1=0 \\ \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}-1 \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1 \\ \end{align}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến \(y'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{1}=-1\).
Chọn: D
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
