Cho hàm số y = x^4 - 2mx^2 + 2m. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực t
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m.\) Xác định tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx.\) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì khi đó:
Phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.
\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\)
Để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 0\end{array} \right..\)
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: \(A\left( {0;2m} \right);B\left( {\sqrt m ;2m - {m^2}} \right);C\left( { - \sqrt m ;2m - {m^2}} \right).\)
Ta có: \(AB = AC\)\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.
Gọi \(H\left( {0;2m - {m^2}} \right)\) là trung điểm của \(BC,\) do tam giác ABC cân tại A nên ta có:
\(AH \bot BC\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{AH.BC}}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2m - 2m + {m^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt m + \sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {2m - {m^2} - 2m + {m^2}} \right)}^2}} }}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = {m^2}.\sqrt m \end{array}\)
Mà \({S_{ABC}} = 32 \Rightarrow {m^2}\sqrt m = 32 \Rightarrow m = 4.\)
Chọn B.
Cách 2: Dùng luôn công thức
+ Đề hàm số có 3 cực trị \( \Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 0\)
+ 3 Cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng \({S_0} \Rightarrow 32{{\rm{a}}^3}.{\left( {{S_0}} \right)^2} + {b^5} = 0\)
\( \Leftrightarrow {32.1.32^2} + {\left( { - 2m} \right)^5} = 0 \Leftrightarrow {32^3} - 32{m^5} = 0 \Leftrightarrow {m^5} = {32^2} \Leftrightarrow m = 4\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
