Cho hàm số y = x^3 - 3mx^2 + 3( m^2 - 1 )x - m^3 - m (m là tham số). Gọi AB là hai điểm cực trị của
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3} - m\) (\(m\) là tham số). Gọi \(A,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và \(I\left( {2; - 2} \right)\). Tổng tất cả các giá trị của \(m\) để ba điểm \(I,A,B\) tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 5 \) là
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m + 1 \Rightarrow y = - 4m - 2\\x = m - 1 \Rightarrow y = - 4m + 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {m + 1; - 4m - 2} \right)\) là điểm cực tiểu, \(B\left( {m - 1; - 4m + 2} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Dễ thấy \(AB = 2\sqrt 5 = 2R\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) có tâm chính là trung điểm \(AB\) hay tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\).
Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - m;4m} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {3 - m; - 4 + 4m} \right)\) nên \(IA \bot IB \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\left( {3 - m} \right) + 4m\left( { - 4 + 4m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 - 16m + 16{m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow 17{m^2} - 20m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{3}{{17}}\end{array} \right.\).
Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + \frac{3}{{17}} = \frac{{20}}{{17}}\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
