Cho hàm số y = ( m + 1 )x^4 - ( m - 1 )x^2 + 1. Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cự
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1.\) Số các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.
Giả sử \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số đạt cực đại. Khi đó ta có \(y\left( {{x_1}} \right) = \left( {m + 1} \right)x_1^4 - \left( {m - 1} \right)x_1^2 + 1 = \left( {m + 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^4} - \left( {m - 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^2} + 1 = y\left( { - {x_1}} \right).\)
Do đó nếu \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm \({-x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do hàm số chỉ có điểm cực đại nên \({x_1} = - {x_1} \Rightarrow {x_1} = 0.\)
Ta có \(y' = 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x,\,y' = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)
Ta lại có \(y'' = 12\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right) \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\left( {m - 1} \right).\) Để \(x=0\) là điểm cực đại của hàm số thì ta cần \(y''\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow - 2\left( {m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 1.\) Khi đó phương trình \((1)\) có hai nghiệm là \({x_1} = - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} .\)
Ta có \(y''\left( {{x_1}} \right) = 12\left( {m + 1} \right){\left( { - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} } \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) = 4\left( {m - 1} \right) > 0\) nên \({x_1}\) là điểm cực tiểu của hàm số. Như vậy với \(m>1\) thì hàm số đã cho có điểm cực tiểu. Do đó không tồn tại \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.