Cho hàm số y = f(x) = ln ( căn 1 + x^2 + x ). Tập nghiệm của bất phương trình f( a - 1 ) + f( ln
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = f(x) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right).\) Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( {a - 1} \right) + f\left( {\ln a} \right) \le 0\) là
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(\sqrt {1 + {x^2}} + x > 0\)
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\) ta có:
\(y' = \dfrac{{\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \dfrac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên TXĐ.
Xét: \(f\left( { - x} \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right) = \ln \dfrac{{1 + {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \ln \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = - \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right) = - f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Khi đó ta có bất phương trình: \(f\left( {a - 1} \right) + f\left( {\ln a} \right) \le 0\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le - f\left( {a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le f\left( {1 - a} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \ln a \le 1 - a\,\,\,\left( {do\,\,\,f'\left( x \right) > 0} \right) \Leftrightarrow \ln a + a \le 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( a \right) = \ln a + a\,\,\left( {a > 0} \right)\) ta có: \(g'\left( a \right) = \dfrac{1}{a} + 1 > 0\,\,\forall a > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Theo (*) ta có \(g\left( a \right) \le g\left( 1 \right) = \ln 1 + 1 \Leftrightarrow a \le 1\).
Vậy \(0 < a \le 1\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
