Cho hàm số y = f( x ) liên tục trên R có đồ thị y = f'( x ) như hình vẽ. Đặt g( x ) = 2f( x ) - ( x
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\).
Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) ta thấy,
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3;1;3\) nên hàm số chỉ có thể đạt GTNN tại một trong ba điểm này.
Ta có:
+) \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx} = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)
Do trong khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} > 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) < g\left( 1 \right)\).
+) \(g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right) = \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)
Do trong khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} < 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right)\).
Từ đó suy ra \(g\left( 1 \right)\) là GTLN của hàm số.
Lại có \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = {S_1} > {S_2} = g\left( 1 \right) - g\left( 3 \right)\) nên \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right)\).
Vậy \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\) nên GTNN của hàm số là \(g\left( { - 3} \right)\).
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.