Cho hàm số y = f( x ) có đạo hàm f'( x ) = ( x^2 - 1 )( x - 2 ). Gọi S là tập tất cả các giá trị ngu
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(f\left( {{x^2} + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị. Số phần tử của tập \(S\)là.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Xét \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có \(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} + m} \right)'.f'\left( {{x^2} + m} \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + m} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + m = 2\\{x^2} + m = 1\\{x^2} + m = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2 - m\\{x^2} = 1 - m\\{x^2} = - 1 - m\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) \(g'\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm bội lẻ phân biệt.
TH1: \(m = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị. (loại)
TH2: \(m = 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 0\\{x^2} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị. (loại)
TH3: \(m = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\\{x^2} = 2\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) (\(x = 0\) là nghiệm bội \(3\)) nên hàm số đã cho có \(5\) điểm cực trị.
TH4: \(m > 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2 - m < 0\\1 - m < 0\\ - 1 - m < 0\end{array} \right.\) nên \(g'\left( x \right) = 0\) chỉ có nghiệm \(x = 0\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.
TH5: \(1 < m < 2\) thì
+ phương trình \({x^2} = 2 - m\) có hai nghiệm phân biệt.
+ phương trình \({x^2} = 1 - m\) và \({x^2} = - 1 - m\) vô nghiệm.
Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) không có \(5\) nghiệm phân biệt và hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.
TH6: \( - 1 < m < 1\) thì
+ phương trình \({x^2} = 2 - m\) có hai nghiệm phân biệt.
+ phương trình \({x^2} = 1 - m\) có hai nghiệm phân biệt.
+ phương trình \({x^2} = - 1 - m\) vô nghiệm.
Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều là nghiệm đơn nên hàm số đã cho có \(5\) điểm cực trị.
TH7: \(m < - 1\) thì các phương trình \({x^2} = 2 - m;{x^2} = 1 - m,{x^2} = - 1 - m\) đều có hai nghiệm phân biệt dẫn đến \(g'\left( x \right) = 0\) có \(7\) nghiệm phân biệt và hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.
Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị là \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\ - 1 < m < 1\end{array} \right.\) hay \( - 1 \le m < 1\).
Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\), có \(2\) giá trị thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
