Cho hàm số f( x ) liên tục trên R và thoả mãn f( x ) + f( - x ) = căn 2 + 2cos 2x forall x in R.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và thoả mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \,\,\forall x \in R\). Tính \(I = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {f\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương pháp: Xác định 1 hàm f(x) thỏa mãn, sử dụng tính chất của hàm chẵn và hàm lẻ để tìm biểu thức cần tính tích phân. Sau đó sử dụng CASIO tính trực tiếp tích phân.
Cách giải:
Ta có: \(f(x) + f( - x) = \sqrt {2 + 2c{\rm{os2x}}} = \sqrt {2 + 2(2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 1)} = 2\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \)
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Leftrightarrow dx = - dt\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow I = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{ - {{3\pi } \over 2}} { - f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {f\left( { - t} \right)dt = } \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {f\left( { - x} \right)dx} \cr & \Rightarrow 2I = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {2f\left( x \right)dx = } = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx = } \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sqrt {2 + 2\cos 2x} dx = } \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {|cosx|dx.} \cr & I = \int\limits_{ - {{3\pi } \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {|cosx|dx = } 6 \cr} \)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
