Cho hàm số f( x ). Biết f( 0 ) = 4 và f'( x ) = 2cos ^2x + 1forall x in R khi đó tích phân0^pi 4 f(
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\) khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} = \int {\left( {\cos 2x + 1 + 1} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)
Lại có: \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 0 + 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4.\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\\,\,\, = \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi } \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\end{array}\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.