Cho F( x ) là một nguyên hàm của hàm số f( x ) = 1xln x thỏa mãn F( 1e ) = 2 và F( e ) = ln 2. Giá t
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2.\) Giá trị của biểu thức \(F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} \).
Đặt \(\ln x = t \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = dt\)
\( \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\ln x} \right) + {C_1}\,\,khi\,\,x > 1\\\ln \left( { - \ln x} \right) + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
+) \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 2 \Leftrightarrow \ln \left( { - \ln \frac{1}{e}} \right) + {C_1} = 2 \Leftrightarrow {C_1} = 2\).
+) \(F\left( e \right) = \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left( {\ln e} \right) + {C_2} = \ln 2 \Leftrightarrow {C_2} = \ln 2\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\ln x} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\ln \left( { - \ln x} \right) + \ln 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln \left( { - \ln \frac{1}{{{e^2}}}} \right) + \ln 2 = 2\ln 2\) và \(F\left( {{e^2}} \right) = \ln \left( {\ln {e^2}} \right) + 2 = \ln 2 + 2\)
\( \Rightarrow F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right) = 2\ln 2 + \ln 2 + 2 = 3\ln 2 + 2\).
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
