Cho f( x ) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f( x ) + f( 2 - x ) = xe^x^2,với mọi x thuộc R. Tính t
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \)
Đặt \(t = 2 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = - \int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \end{array}\)
Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \dfrac{{du}}{2}\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 2 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^u}du} = \left. {\dfrac{1}{2}{e^u}} \right|_0^4 = \dfrac{1}{2}\left( {{e^4} - 1} \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{4}\left( {{e^4} - 1} \right) = \dfrac{{{e^4} - 1}}{4}\end{array}\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
