Cho đa thức bậc bốn y = f( x ) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết mathop lim limitsx to 0 d2x + f'
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = 1\) và \(x = 2.\) Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = 2.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} \) bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = 2\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2x = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\) (vì nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = \infty \ne 2\))
Từ đó \(x = 0;x = 1;x = 2\) là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm \(x = 0;x = 1;x = 2\)
Vì \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm \(f'\left( x \right) = m.x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Từ đề bài ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + mx\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 + m\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = 2 \Rightarrow \dfrac{{2 + 2m}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 1\)
Nên \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\)
Từ đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx} = \dfrac{1}{4}.\)
Chọn B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
