Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 4+9.3^x^2-2y=(4+9^x^2-2y).7^2y-x^2+2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương x và y thỏa mãn \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x+2y+18}{x+1}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \({{x}^{2}}-2y=t\). Phương trình \(4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=(4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}}){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}\)(1) trở thành: \(4+{{3}^{t+2}}=(4+{{3}^{2t}}){{.7}^{2-t}}\) (2)
* Dễ dàng kiểm tra, \(t=2\) là nghiệm của (2).
* Nếu t > 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 < 2t\\{7^0} < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 4 + {3^{t + 2}} < 4 + {3^{2t}}\\0 < 1 < {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} < (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)
* Nếu t < 2 thì \(\left\{ \begin{array}{l}t + 2 > 2t\\{7^0} > {7^{2 - t}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + {3^{t + 2}} > 4 + {3^{2t}} > 0\\1 > {7^{2 - t}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {3^{t + 2}} > (4 + {3^{2t}}){.7^{2 - t}}\)
Vậy, phương trình (2) có duy nhất một nghiệm \(t=2\). Khi đó, ta có: \({{x}^{2}}-2y=2\Leftrightarrow 2y={{x}^{2}}-2\)
\(P=\frac{x+2y+18}{x+1}=\frac{x+{{x}^{2}}-2+18}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+16}{x+1}=x+\frac{16}{x+1}=(x+1)+\frac{16}{x+1}-1\overset{\operatorname{Cos}i}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{(x+1).\frac{16}{x+1}}-1=8-1=7\)
( do \(x>0\)).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x+1=\frac{16}{x+1}\Leftrightarrow x=3\)
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7.
Chọn: B.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.