Cho các số thực a b thỏa mãn 0 < a < 1 < bab > 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = log aab + d4( 1
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a < 1 < b,\,\,ab > 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}}\) bằng
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\dfrac{a}{b}}}}}\\ = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}\end{array}\)
Do \(0 < a < 1 < b\) nên \(1 + {\log _a}b < 0\). Áp dụng BĐT Cô si ta có: \( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}} = 4\)\( \Rightarrow P \le - 4\)
\({P_{\max }} = - 4\) khi và chỉ khi \(1 + {\log _a}b = - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b = - 3 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{{{a^3}}}\).
Chọn: B
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
