Biết tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 13a^3. Xác định AB.
Câu hỏi
Nhận biếtBiết tứ diện đều \(ABCD\) có thể tích bằng \(\frac{1}{3}{a^3}.\) Xác định \(AB.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi tứ diện đều có \(AB = AC = BC = CD = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right);AM \bot BC\)
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(x\) có : \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3};{S_{ABC}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Xét tam giác \(DAH\) vuông tại \(H\) có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích khối tứ diện \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{x\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{a^3} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \)
Vậy \(AB = a\sqrt 2 .\)
Chọn D.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d:
= 
= 
và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
là số thực và z2 = 
là số ảo.
